ゲーム画面を映すことはできますか？

はい、HDMI出力端子があるゲーム機であれば、HDMIケーブルで接続することでゲーム画面を映すことができます。
スマートフォンゲームをミラーリングで映すことも可能ですが、ワイヤレスでのミラーリングでは遅延が生じる場合がありますので推奨しておりません。